GENERALIZACION DE
El problema es el siguiente:
Dado el polinomio P(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+.....................................................................................a3x3+a2x2+a1x+a0
Se trata de hacer la división por el binomio xm±a siendo m un numero natural y a un numero real.
Entonces se puede hacer la división de estos dos polinomios o aplicar la siguiente regla que en el caso m=1 es la conocida regla de Ruffini.
Ponemos los coeficientes de dicho polinomio en fila y si no aparece el coeficiente se pone un 0 en el lugar correspondiente y debajo se pone el
término independiente del binomio cambiado de signo.
Se procede del siguiente modo: se ponen todos los coeficientes del polinomio, los que no aparezcan se sustituyen por 0 se efectua la división al
estilo de Ruffini, el producto de ±a por an se coloca a la derecha contando tantos lugares como sea el grado del binomio.Es decir:
an
an-1
an-2
................................................................a3 a2
a1
a0
±a
an
±a×an
ak±a×an
a3 a2
a1 a0
El resto de la división se consigue poniendo un polinomio completo de grado una unidad inferior al grado del binomio divisor, es decir,
un polinomio de grado m-1 y que se pone en la línea de abajo, en la misma línea que se hacen las multiplicaciones y las sumas y restas del polinomio por
a. Poniendose de esta forma:
ak±a×an................................................±a3±a2±a1±a0
Construyendose así un polinomio de grado n-m como cociente
Veamos todo lo anterior con un ejemplo: dividimos el polinomio P(x)= 6x8-5x6+3x5-2x4+7x3-x2+8x-10 por x5+4
(Observese que 8>5)
6 0 -5 3 -2 7 -1 8 -10
-4
-24 0 20 -12
6 0 -5 3 -2 -17 -1
28
-22
RESTO
Por tanto el resultado de la división es 6x3-5x+3 y el resto es -2x4-17x3-x2+28x-22±
Hagamos ahora la división de P(x)=7x4-5x3+13x-8 por x2-6.
Como antes tenemos:
7 -5 0 13 -8
6
42 -30
252
7
-5
42
-17 244
RESTO
El resultado de la división es: 7x2-5x+42 y el resto es: -17x+244
Este método se puede emplear para calcular las raíces enteras y racionales de
un polinomio por ejemplo si el polinomio es x3-6x2+11x-6=0.
Las raíces son enteras y son los divisores del término independiente es decir
±1, ±2,±3, de esta forma evitamos el signo+ y el signo
-. Para ello dividimos el polinomio por el cuadrado del binomio menos la
posible raíz al cuadrado es decir x2-a2
. Efectuamos la división
1 -6 11 -6
a2
a2 -6a2
1 -6
11+a2 -6-6a2 RESTO
Como el resto debe de ser cero tenemos que (11 + a2)x = 6+ 6a2 → x= (6+6a2 )/(11+ a2 ) sustituyendo a2 por 1,4 y 9 obtenemos el valor
correspondiente de x con el signo adecuado-
El caso de raíces racionales es mas complicado.Por ejemplo consideremos el polinomio 6x4+5x3-14x2+x+2=0 si la raíz es un numero racional p/q con p y q primos entonces las posibles raíces racionales son todos los divisores de an y de a0 puesto que p divide a an y q divide a a0. En este caso las posibles raíces racionales son ±1,±2 para p y ±1,±2,±3,±6 para q efectuamos primero la división por x2-a2 donde a es cualquier raíz racional
6
5
-14 +1
+2
a2
6a2 5a2
-14a2 +6a4
6 5
-14+6a2 1+5a2 6a4-14a2
+2
RESTO
Como el resto tiene que ser cero tenemos que (1+5a2 )x= -6a4+14a2-2 → x = (-6a4+14a2-2)/(5a2+1) sustituyendo a2 por 1/4, 1/9, 1 y 4 obtenemos loa signos correspondientes de los cuatro números y que por supuesto son los valores de x
